多秃的头算秃?这是个数学概念

  来源:《给孩子的数学故事书》

  作者:张远南 张昶

  常言说得好:失之毫厘,谬之千里。

  一颗人造卫星,要送到地球上空的预定轨道,离不开精密的数学计算。百层摩天大厦能够拔地而起,没有准确的数学计算,也是难以想象的。

  数学一向以严密、精确著称。然而,在20世纪60年代,却偏有一个叫“模糊数学”的数学新分支异军突起。 

  难道数学计算无须精密准确而需要“模模糊糊”?当然不是。自然科学的学科,只有当它们能够使用数学语言描述的时候,才谈得上成熟。在恩格斯的那个年代,数学在生物学上的应用还几乎为零。然而如今的生物学,已全然离不开数学。就连许多社会科学,也在不断追求定量化和数学化。那么,为什么在此时此刻反而半路杀出一个“模糊数学”呢? 这还得从两种不同的概念讲起。 

  在日常生活中,我们遇到的概念不外乎两类。一类是清晰的概念,对象是否属于这个概念是明确的。例如,人、自然数、正方形等。要么是人,要么不是人;要么是自然数,要么不是自然数;要么是正方形,要么不是正方形。非此即彼。

  另一类概念对象从属的界限是模糊的,随判断人的思维而定。例如,美不美、早不早、便宜不便宜等。西施是我国古代公认的美女,但有道是“情人眼里出西施”,这就是说,在一些人看来未必那么美的人,在另一些人眼里,却美得可以与西施相比拟。可见,“美”与 “不美”是不存在一个精确的界限的。

  再说“早”与“不早”,清晨5点,对于为都市“梳妆打扮”的清洁工人来说可能算是迟了,但对于大多数人来说,却是很早的。至于便宜不便宜,那更是随人的感觉而异了!

  在客观世界中,诸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。对于这类模糊现象,过去已有的数学模型难以适用,需要形成新的理论和方法,即在数学和模糊现象之间架起一座桥梁。这就是我们要讲的“模糊数学”。 

  加速这座桥梁架设的是计算机科学的迅速发展。大家知道,人的大脑具有非凡的判别和处理模糊事物的能力。就拿一个孩子识别自己的母亲为例,即使这位母亲更换了新衣,改变了发型,她的孩子依然会从高矮、胖瘦、音容、姿态等迅速地做出准确判断。

  如果这件事让计算机来干,那就非得把这位母亲的身高、体重、行走速度、外形曲线等,全都计算到小数点后的十几位,然后才能着手判断。这样的“精确”实在是事与愿违,走到了事物的反面。

  说不定就因为这位母亲脸上一时长了一个小疖,该部位的平均高度比原来高了零点零几毫米,而使计算机做出“拒绝接受”的判断!难怪模糊数学的创始人、美国加利福尼亚大学教授、自动控制专家L.A。扎德(L.A.Zadeh,1921—2017) 说:“所面对的系统越复杂,人们对它进行有意义的精确化的能力就越低。”

  他生动地举了一个停车问题的例子,他说,要把汽车停在拥挤停车场的两辆汽车之间的空地上,这对有经验的司机来说,并非什么难事。但若用精确的方法求解,即使是一台大型电子计算机也不容易。 

  那么,要使计算机能够模仿人脑,对复杂系统进行识别和判断,出路在哪里呢? 

  扎德教授主张在极度的复杂性面前,从精度方面“后退”一步。他提出用隶属函数使模糊概念数学化。例如 “秃头”,这显然是一种模糊概念。

  (a)的头没有一点头发,自属标准“秃头”隶属程度为1;

  (d)的头是典型秃顶,所以“秃”的隶属程度可定为0.8;

  (c)的头上,长满了乌黑的头发,根本与“秃”沾不上边,所以“秃”的隶属程度为0;

  (b)与(e) 的“秃”,比之(a)、(d)则不足,比之 (c)则有余,隶属程度可分别定为 0.5和0.3。

  这样“秃”这个模糊概念就可以用以下的方法定量地给出定义: [秃头]=1/a+0.5/b+0/c+0.8/d+0.3/e

  这里的“+”和“/”,不是通常的相加和相除,只是一种记号。“1/a” 表明状态a的隶属程度为“1”,“+”则表示各种情况的并列。 

  下面我们再看“年轻”和“年老”这两个模糊概念。

  扎德教授本人根据统计资料,拟合了这两个概念的隶属函数图像。图中横坐标表示年龄,纵坐标表示隶属程度。

  例如,从坐标图可以看出,50岁以下的人不属于“年老”,而当年龄超过50岁时,随着岁数的增大,“年老”的隶属程度也越来越大。

  “人生七十古来稀”,70岁的人“年老”的隶属程度已达94%。同样,在坐标图中我们可以看到,25岁以下的人,“年轻”的隶属程度为 100%,超过25岁,“年轻”的程度越来越小。40岁已是“人到中年”,“年轻”的隶属程度只有10%。假如有人问你:“你的数学老师年轻吗?”而你的回答却是: “他‘年轻’的隶属程度为25%。”这样的答案自然不会有错,但显然是很别扭的。

  为了使人产生一种确切的印象,我们可以固定一个百分数,例如40%,隶属程度大于或等于40%的都叫“年轻”,反之就不叫“年轻”。

  在这种前提下,你对你朋友的回答也就是肯定的了,你可以明白地告诉你的朋友,你的数学老师不年轻。因为这时“年轻”一词,已从模糊概念转为明确的概念。

  当然,作为隶属程度分界线的那个固定百分数,是应当通过科学的分析,或者通过民意测验的统计来选取的。

  再举中国古代史的分期为例,“奴隶社会”是个模糊概念。

  [奴隶社会]=1/夏+1/商+0.9/西周+0.7/春秋+ 0.5/战国+0.4/秦+0.3/西汉+0.1/东汉

  取0.5的隶属程度作为奴隶社会的划分界限,那么属于奴隶社会的,就该是夏、商、西周、春秋和战国。秦、汉则不属于奴隶社会。

  在精确数学中,“非常”“很”“不”等词是很难用数量加以表述的。但在模糊数学中,却可以让它们定量化。例如,“很”表示隶属程度的平方,“不”则表示用1减去原隶属度等。如30岁属于“年轻”的隶属程度为0.5,那么属“很年轻”的隶属程度就只有(0.5)²=0.25,而“不很年轻”的隶属程度则为1-(0.5)²= 0.75

  上面我们看到,在对事物的模糊性进行定量刻画的时候,同样需要用到概率统计的手段和精确数学的方法。由此可见,“模糊数学”实际上并不模糊。 

  模糊数学的诞生,把数学的应用领域从清晰现象扩展到模糊现象,从而使数学闯进了许多过去难以达到的“禁区”。用模糊数学的模型来编制程序,让计算机模拟人脑的思维活动,已经在文字识别、疾病诊断、气象预测、火箭发射等方面获得了成功, 前景十分诱人。 

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